Esperanza
Matemática
La esperanza matemática (E(x)
o µ) es el valor esperado de una Variable
Aleatoria X, es decir, el promedio o valor promedio de X. También se puede
definir como el valor esperado de una variable aleatoria después de un número grande
de experimentos es su valor esperado. Ahora bien, el valor esperado o la
cantidad promedio que se ganaría en cada juego después
de un número grande de éstos, se determina
multiplicando cada cantidad que se gana o se pierde por su respectiva probabilidad y
se suman los resultados.
E(x)=
µ= Ʃxi . P(X=x)
Propiedades de la Esperanza matemática:
1) La esperanza
matemática de una constante C es igual a la misma constante.
E(C)= C
esto
es debido a que como una constante (C), no es una variable aleatoria, su ocurrencia tiene probabilidad 1, por lo
tanto, la esperanza será igual al valor de la constante.
2) La esperanza
matemática de la suma de varias variables aleatorias es igual a la suma de las
esperanzas matemáticas de los sumandos. Para el caso de dos variables
aleatorias X e Y, se tiene:
E(X+Y)= E(X) + E(Y)
Esta
propiedad se cumple tanto si las variables aleatorias X e Y son estocásticamente
independientes como si son dependientes.
Ejemplo:
se tiene las siguientes distribuciones de probabilidades de guantes e
inyectadoras defectuosas en una fábrica de insumos médicos.
|
X
|
0
|
1
|
2
|
|
P(X=x)
|
0,85
|
0,07
|
0,01
|
|
X
|
0
|
1
|
2
|
|
P(X=x)
|
0,50
|
0,09
|
0,04
|
La esperanza matemática de
guantes (G) defectuosos es de:
E(G)=
{ (0x0,85) + (1x0,07) + (2x0,01)} = 0,09 guantes
La
esperanza matemática de inyectadoras (I) defectuosos es de:
E(I)= { (0x0,50) + (1x0,09) + (2x0,04)}
= 0,17 inyectadoras
Por la tanto la cantidad de insumos
defectuosos que espera tener la fábrica es de:
E(G+I)=
0,09 + 0,17= 0,26 insumos
3) La esperanza
matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al
producto de sus esperanzas matemáticas:
E(X.Y)
= E(X) . E(Y)
Ejemplo:
tomando las esperanzas del ejemplo anterior, se puede conocer cual sería la
esperanza del producto de sus variables
E(GxI) = 0,09 x 0,17=
0,02 insumos
4) La
esperanza matemática del producto de una constante por una variable aleatoria,
es igual al producto de la constante por la esperanza de la variable aleatoria:
E(c.X)= c.E(X)
Ejemplo:
tomando la distribución de los guantes defectuosos de una fábrica de insumos médicos
podemos calcular cual sería la cantidad de guantes defectuosos que se esperan
obtener al cabo de 5 horas.
|
X
|
0
|
1
|
2
|
|
P(X=x)
|
0,85
|
0,07
|
0,01
|
E(G)=
{ (0x0,85) + (1x0,07) + (2x0,01)} = 0,09 guantes
E(5xG)=
5 x 0,09= 0.45 guantes defectuosos en 5 horas
la varianza
La
varianza (V(x) o σ2) de una variable aleatoria es una medida de dispersión.
Mide la desviación cuadrada de los valores de dicha variable con respecto a su
media, multiplicado por la probabilidad de ocurrencia del evento.
V(x)=
Ʃ(xi-µ)2 . P(X=x)
Propiedades de la Varianza:
1)La varianza
de una constante es cero, la varianza mide la despersion, evidentemente con
constante no puede tener dispersión y su varianza es cero.
V(C)= 0
2) La varianza
del producto de una constante por una variable, es igual a la constante al
cuadrado por la varianza de la variable.
V(C.X)=
C2 . V(X)
Ejemplo:
calcular la varianza de la siguiente distribución de probabilidad teniendo en
cuenta la siguiente C=3
|
X
|
0
|
1
|
2
|
|
P(X=x)
|
0,2
|
0,6
|
0,09
|
Comencemos
calculando la esperanza:
E(X)=
{(0x0,2) + (1x0,6) + (2x0,09)}= 0,78
V(X)=
{((0-0,78)2 . 0,2) + ((1-0,78)2 . 0,6) + ((2-0,78)2
. 0,09)= 0,28
V(5.X)=
52 . 0,28= 7
3) Si X
e Y son variables aleatorias cualesquiera, la varianza de la suma de dos
variables independientes es igual a la suma de las varianzas.
V(X+Y)= V(X) + V(Y)
Ejemplo:
X e Y son dos variables aleatorias independientes, cuyas variables son las
siguientes: V(X)= 5 , V(Y)= 8. Hallar la suma de sus variables:
V(X+Y)=
5 + 8= 13
la Desviacion estandAR
La desviación
estándar (DE(x) o σ) es la raíz cuadrada de la varianza, es una media que sirve
para determinar la dispersión de la variable en estudio, expresada en unidades
de medida lineales.
Propiedades de la Desviación Estándar:
1)
La
desviación típica es un valor positivo, la igualdad sólo se da en el caso de
que todas las muestras sean iguales.
σ ≥ 0
2)
Si a
todos los datos se les suma una constante, la desviación típica sigue siendo la
misma.
DE(C+X)= σ
3)
Si todos
los datos se multiplican por una constante, la desviación típica queda
multiplicada por dicha constante.
DE(CxX)= C
x σ
4) Si se
dispone de varias distribuciones con la misma media y se calculan las distintas
desviaciones típicas, se puede hallar la desviación típica total aplicando la
fórmula:
Ejemplo: se le realiza un examen
a 30 estudiantes de 3 secciones distintas, las cuales obtienen las siguientes
desviaciones de las notas: σ1=2,45; σ2=3,21 y σ3=2,78.
Hallar la desviación típica del total de las notas del examen.
σ= 2,45 + 3,21 + 2,78 / 30= 0,28
