Esperanza Matemática

 

La esperanza matemática (E(x) o µ) es el valor esperado de una Variable Aleatoria X, es decir, el promedio o valor promedio de X. También se puede definir como el valor esperado de una variable aleatoria después de un número grande de experimentos es su valor esperado. Ahora bien, el valor esperado o la cantidad promedio que se ganaría en cada juego después de un número grande de éstos, se determina multiplicando cada cantidad que se gana o se pierde por su respectiva probabilidad y se suman los resultados.

E(x)= µ= Ʃxi . P(X=x)

  

Propiedades de la Esperanza matemática:

 

           1) La esperanza matemática de una constante C es igual a la misma constante.

E(C)= C

 esto es debido a que como una constante (C), no es una variable aleatoria,  su ocurrencia    tiene probabilidad 1, por lo tanto, la esperanza será igual al valor de la constante.

         2)  La esperanza matemática de la suma de varias variables aleatorias es igual a la suma de las esperanzas matemáticas de los sumandos. Para el caso de dos variables aleatorias X e Y, se tiene:

E(X+Y)= E(X) + E(Y)

Esta propiedad se cumple tanto si las variables aleatorias X e Y son estocásticamente independientes como si son dependientes.

Ejemplo: se tiene las siguientes distribuciones de probabilidades de guantes e inyectadoras defectuosas en una fábrica de insumos médicos.

 

X	0	1	2
P(X=x)	0,85	0,07	0,01

X	0	1	2
P(X=x)	0,50	0,09	0,04

  

                         

La esperanza matemática de guantes (G) defectuosos es de:

E(G)= { (0x0,85) + (1x0,07) + (2x0,01)} = 0,09 guantes

La esperanza matemática de inyectadoras (I) defectuosos es de:

E(I)= { (0x0,50) + (1x0,09) + (2x0,04)} = 0,17 inyectadoras

Por la tanto la cantidad de insumos defectuosos que espera tener la fábrica es de:

E(G+I)= 0,09 + 0,17= 0,26 insumos

                3) La esperanza matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus esperanzas matemáticas:

E(X.Y) = E(X) . E(Y)

Ejemplo: tomando las esperanzas del ejemplo anterior, se puede conocer cual sería la esperanza del producto de sus variables

 E(G_xI) = 0,09 _x 0,17= 0,02 insumos

                 4) La esperanza matemática del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual al producto de la constante por la esperanza de la variable aleatoria:

E(c.X)= c.E(X)

Ejemplo: tomando la distribución de los guantes defectuosos de una fábrica de insumos médicos podemos calcular cual sería la cantidad de guantes defectuosos que se esperan obtener al cabo de 5 horas.

X	0	1	2
P(X=x)	0,85	0,07	0,01

  

E(G)= { (0x0,85) + (1x0,07) + (2x0,01)} = 0,09 guantes

E(5_xG)= 5 _x 0,09= 0.45 guantes defectuosos en 5 horas

la varianza

  

La varianza (V(x) o σ²) de una variable aleatoria es una medida de dispersión. Mide la desviación cuadrada de los valores de dicha variable con respecto a su media, multiplicado por la probabilidad de ocurrencia del evento.

V(x)= Ʃ(xi-µ)² . P(X=x)

Propiedades de la Varianza:

          1)La varianza de una constante es cero, la varianza mide la despersion, evidentemente con constante no puede tener dispersión y su varianza es cero.

V(C)= 0

         2) La varianza del producto de una constante por una variable, es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable.

 V(C.X)= C² . V(X)

Ejemplo: calcular la varianza de la siguiente distribución de probabilidad teniendo en cuenta la siguiente C=3

X	0	1	2
P(X=x)	0,2	0,6	0,09

 Comencemos calculando la esperanza:

E(X)= {(0x0,2) + (1x0,6) + (2x0,09)}= 0,78

V(X)= {((0-0,78)² . 0,2) + ((1-0,78)² . 0,6) + ((2-0,78)² . 0,09)= 0,28

V(5.X)= 5² . 0,28= 7

           3) Si X e Y son variables aleatorias cualesquiera, la varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas.

  

V(X+Y)= V(X) + V(Y)

Ejemplo: X e Y son dos variables aleatorias independientes, cuyas variables son las siguientes: V(X)= 5 , V(Y)= 8. Hallar la suma de sus variables:

       V(X+Y)= 5 + 8= 13

la Desviacion estandAR

 

La desviación estándar (DE(x) o σ) es la raíz cuadrada de la varianza, es una media que sirve para determinar la dispersión de la variable en estudio, expresada en unidades de medida lineales.

 

Propiedades de la Desviación Estándar:

1)    La desviación típica es un valor positivo, la igualdad sólo se da en el caso de que todas las muestras sean iguales.

                                                                              σ ≥ 0

2)    Si a todos los datos se les suma una constante, la desviación típica sigue siendo la misma.

DE(C+X)= σ

3)    Si todos los datos se multiplican por una constante, la desviación típica queda multiplicada por dicha constante.

DE(C_xX)= C _x σ

4)    Si se dispone de varias distribuciones con la misma media y se calculan las distintas desviaciones típicas, se puede hallar la desviación típica total aplicando la fórmula:

 Ejemplo: se le realiza un examen a 30 estudiantes de 3 secciones distintas, las cuales obtienen las siguientes desviaciones de las notas: σ₁=2,45; σ₂=3,21 y σ₃=2,78. Hallar la desviación típica del total de las notas del examen. 

σ= 2,45 + 3,21 + 2,78 / 30= 0,28